练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    定义：若对于给定区间D内任意的实数x1和x2都有f()≥[f(x1)+f(x2)]，则称函数f(x)是区间D上的上凸函数。上凸函数有如下的性质：

    若在上凸函数f(x)的图象上依次取n个(n≥3)点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），则凸n边到P1P2P3…Pn的生心G（，）必在函数y=f(x)的图象下方或图象上。

    运用上述定义或性质证明。

    （1）f(x)=lgx在区间（0，+∞）上是上凸函数；

    （2）设x1，x2，…，xn为正实数，则≥。

    答案：
    解析：

    		证明：（1）设x1，x2，…，xn为正实数，则

    f()－[f(x1)+f(x2)]

    =1g－(1gx1+1gx2)

    =1g－1g

    =1g

    ∵x1，x2，…，xn为正实数，

    ∴x1+x2≥2，即≥1。

    又y=f(x)在（0，+∞）上是增函数，∴lg()≥0，

    ∴f()≥[f(x1)+f(x2)]，

    根据定义，函数y=1gx是区间（0，+∞）上的上凸函数。

    （2）由（1）知，f(x)=1gx在区间（0，+∞）上是上凸函数。

    设P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），依次是上凸y=1gx上的n个（n≥3）点，根据上凸函数的性质，有

    f()≥[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]，

    即1g≥1g(x1x2…xn)，

    亦即1g≥1g。

    因为y=1gx在（0，+∞）上是增函数，

    所以≥。


    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于定义在区间[m，n]上的两个函数f（x）和g（x），如果对任意的x∈[m，n]，均有不等式|f（x）-g（x）|≤1成立，则称函数f（x）与g（x）在[m，n]上是“友好”的，否则称“不友好”的．现在有两个函数f（x）=loga（x-3a）与g(x)=loga
    1x-a
    （a＞0，a≠1），给定区间[a+2，a+3]．
    （1）若f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；
    （2）讨论函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是否“友好”．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    若函数y=f（x）在R上有定义，对于给定的正数M，定义函数fM（x）=
    f(x)，f(x)≥M
    M，f(x)＜M
    ，若给定函数f（x）=ex-1，当M=1时，fM（x）的单调递增区间是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：044

    定义：若对于给定区间D内任意的实数x1和x2都有f()≥[f(x1)+f(x2)]，则称函数f(x)是区间D上的上凸函数。上凸函数有如下的性质：

    若在上凸函数f(x)的图象上依次取n个(n≥3)点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），则凸n边到P1P2P3…Pn的生心G（，）必在函数y=f(x)的图象下方或图象上。

    运用上述定义或性质证明。

    （1）f(x)=lgx在区间（0，+∞）上是上凸函数；

    （2）设x1，x2，…，xn为正实数，则≥。

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义:若对于给定区间D内任意的实数x1和x2,都有f()≥［f(x1)+f(x2)］,则称函数f(x)是区间D上的上凸函数.上凸函数有如下的性质:

    若在上凸函数f(x)的图象上依次取n个(n≥3)点P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),则凸n边到P1P2P3…Pn的重心G()必在函数y=f(x)的图象下方或图象上.

    运用上述定义或性质证明.

    (1)f(x)=lgx在区间(0,+∞)上是上凸函数;

    (2)设x1,x2,…,xn为正实数,则.

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案