练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2013•崇明县二模）已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足an2=S2n-1，n∈N*．数列{bn}满足bn=
    1an•an+1
    ，n∈N*，Tn为数列{bn}的前n项和．
    （1）求数列{an}的通项公式an和数列{bn}的前n项和Tn；
    （2）若对任意的n∈N*，不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，求实数λ的取值范围；
    （3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）由an2=S2n-1，n∈N*．分别令n=1和2，可分别求出数列的首项和公差，代入可得数列{an}的通项公式，由bn=
    1
    an•an+1
    ，n∈N*，可由裂项相消法得到数列{bn}的前n项和Tn；
    （2）由（1）中Tn的表达式，然后分n为奇数和n为偶数两种情况，分别求出实数λ的取值范围，综合分类讨论结果，可得答案．
    （3）由（1）中Tn的表达式，结合等比数列的性质，可构造关于m，n的方程，根据1＜m＜n及m，n均为整数，可得答案．
    解答：解：（1）在an2=S2n-1中，令n=1，n=2，
    得
    a
    2
    1
    =S1
    a
    2
    2
    =S3
    ，即
    a
    2
    1
    =
    a
     
    1
    (a
     
    1
    +d)2=
    3a
     
    1
    +3d
    （2分）
    解得a1=1，d=2，（3分）
    ∴an=2n-1．
    ∵bn=
    1
    an•an+1
    =
    1
    (2n-1)•(2n+1)
    =
    1
    2
    （
    1
    (2n-1)
    -
    1
    (2n+1)
     ），
    ∴Tn=
    1
    2
    （1-
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    5
    +…+
    1
    (2n-1)
    -
    1
    (2n+1)
     ）=
    n
    2n+1
    ．（5分）
    （2）①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8•（-1）n恒成立，即需不等式λ＜
    (n+8)(2n+1)
    n
    =2n+
    8
    n
    +17恒成立．（6分）∵2n+
    8
    n
    ≥8，等号在n=2时取得．
    ∴此时λ需满足λ＜25．（7分）
    ②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8•（-1）n恒成立，即需不等式λ＜
    (n-8)(2n+1)
    n
    =2n-
    8
    n
    -15恒成立．（8分）
    ∵2n-
    8
    n
    是随n的增大而增大，
    ∴n=1时，2n-
    8
    n
    取得最小值-6．
    ∴此时λ需满足λ＜-21．（9分）
    综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21．（10分）
    （3）T1=
    1
    3
    ，Tm=
    m
    2m+1
    ，Tn=
    n
    2n+1
    ，
    若T1，Tm，Tn成等比数列，则（
    m
    2m+1
    ）2=
    1
    3
     （
    n
    2n+1
    ），
    即
    m2
    4m2+4m+1
    =
    n
    6n+3
    ．（11分）
    由
    m2
    4m2+4m+1
    =
    n
    6n+3
    ，可得
    3
    n
    =
    -2m2+4m+1
    m2
    ＞0，
    即-2m2+4m+1＞0，（12分）
    ∴1-
    		6
    2
    ＜m＜1+
    		6
    2
    ．（13分）
    又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12．
    因此，当且仅当m=2，n=12时，数列 {Tn}中的T1，Tm，Tn成等比数列．（14分）
    点评：本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•崇明县二模）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f的分布表如下：
    X 1 2 3 4 5
    f a 0.2 0.45 0.15 0.1
    则在所抽取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为
    20
    20
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•崇明县二模）设函数 f(x)=
    2x      (x≤0)
    log2x (x＞0)
    ，函数y=f[f（x）]-1的零点个数为
    2
    2
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•崇明县二模）已知函数f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx，x∈R，则f（x）是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•崇明县二模）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D为斜边AB的中点，则 
    AB
    •
    CD
    =
    -1
    -1
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案