Question

如图，在四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，侧面ADD₁A₁⊥底面ABCD，D₁A＝D₁D＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．

(Ⅰ)求证：A₁O∥平面AB₁C；

(Ⅱ)求锐二面角A－C₁D₁－C的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：如图，连接，　1分 　　则四边形为正方形，　2分 　　，且 　　故四边形为平行四边形，　3分 　　，　4分 　　又平面，平面　5分 　　平面　6分 　　(Ⅱ)为的中点，，又侧面⊥底面，故⊥底面，　7分 　　以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，则 　　，　8分 　　 　　，　9分 　　设为平面的一个法向量，由，得， 　　令，则　10分 　　又设为平面的一个法向量，由，得，令 　　，则，　11分 　　则，故所求锐二面角A－C1D1－C的余弦值为　12分 　　注：第2问用几何法做的酌情给分．