Question

如图，已知等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C-AB-D的余弦值为

3

3

，M是AC的中点，则EM，DE所成角的余弦值等于

3

6

．

Answer 1

分析：设点C在平面ABDE内的射影为O，取AB的中点H，连结CD、CE、CO、OH、CH，根据题意证出点O是正方开ABDE的中心，可得四棱锥C-ABDE是所有棱长均为2的正四棱锥，且∠OHC就是二面角C-AB-D的平面角．利用向量的方法，算出

ED

•

EM

=1，得到

ED

、

EM

夹角的余弦值等于

3

6

，由此即得直线EM、DE所成角的余弦值．

解答：解：连结CD、CE，取AB的中点H，
设点C在平面ABDE内的射影为O，连结CO、OH、CH
∵CH是等边三角形ABC的中线，∴CH⊥AB
∵CO⊥平面ABDE，得OH是CH在平面ABDE内的射影
∴OH⊥AB，得∠OHC就是二面角C-AB-D的平面角
设AB=2，则等边△ABC中，CH=

3

2

AB=

3

Rt△COH中，cos∠OHC=

OH

CH

=

3

3

，可得OH=

3

3

CH=1，
由此可得点O是正方开ABDE的中心，可得四棱锥C-ABDE是所有棱长均为2的正四棱锥
等边△ACE中，

EM

=

1

2

（

EA

+

EC

）且|

EM

|=

3

∴

ED

•

EM

=

1

2

ED

•（

EA

+

EC

）=

1

2

ED

•

EA

+

1

2

ED

•

EC

∵∠DEA=90°，得

ED

•

EA

=0；∠DEC=60°，得

ED

•

EC

=|

ED

|•|

EC

|cos60°=2
∴

ED

•

EM

=

1

2

×0+

1

2

×2=1
可得cos＜

ED

，

EM

＞=

ED • EM

| ED |•| EM |

=

1

2× 3

=

3

6

由此结合两条直线所成角的定义，可得直线EM、DE所成角的余弦值等于

3

6

．

点评：本题给出正方形所在平面与正三角形所在平面的二面角的大小，求两条直线所成角的余弦值，着重考查了二面角的平面角的定义与求法、正四棱锥的定义与性质和运用向量的方法求两条直线所成角等知识，属于中档题．