Question

（2013•郑州一模）已知函数f(x)=ln(1+x)-

ax

1-x

(a∈R)
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若数列{a_m}的通项公式am=(1+

1

2013×2m+1

)2013，m∈N*，求证：a1•a2…am＜3，(m∈N*)．

Answer 1

分析：（1）在定义域x大于0上，令f^′（x）=0求出x的值，利用x的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间单调递增区间与单调递减区间，注意分类讨论；
（2）与数列有关的证明题，常用放缩法来解决．

解答：解：（1）由题意，函数的定义域为（-1，1）∪（1，+∞），f′(x)=

1

1+x

-

a

(1-x)2

，---（1分）
当a≤0时，注意到

1

1+x

＞0，

a

(1-x)2

≤0，所以f′（x）＞0，
即函数f（x）的增区间为（-1，1），（1，+∞），无减区间；---（2分）
当a＞0时，f′(x)=

1

1+x

-

a

(1-x)2

=

x2-(2+a)x+1-a

(1+x)(1-x)2

，
由f^′（x）=0，得x²-2（2+a）x+1-a=0，
此方程的两根x1=

a+2- a2+8a

2

，x2=

a+2+ a2+8a

2

，
其中-1＜x₁＜1＜x₂，注意到（1+x）（1-x）²＞0，
所以f^′（x）＞0?-1＜x＜x₁或x＞x₂，
f^′（x）＜0?x₁＜x＜1或1＜x＜x₂，
即函数f（x）的增区间为（-1，x₁），（x₂，+∞），减区间为（x₁，1），（1，x₂），
综上，当a≤0时，函数f（x）的增区间为（-1，1），（1，+∞），无减区间；
当a＞0时，函数f（x）的增区间为（-1，x₁），（x₂，+∞），减区间为（x₁，1），（1，x₂），
其中x1=

a+2- a2+8a

2

，x2=

a+2+ a2+8a

2

．--（6分）
（2）证明：当a=1时，由（1）知，函数f(x)=ln(1+x)-

x

1-x

在（0，1）上为减函数，--（7分）
则当0＜x＜1时，f(x)=ln(1+x)-

x

1-x

＜f(0)=0，即ln(1+x)＜

x

1-x

，
令x=

1

2013×2m+1

 (m∈N*)，则ln(1+

1

2013×2m+1

) ＜

1

2013×2m

 ，
即ln(1+

1

2013×2m+1

)2013＜

1

2m

 ，所以am=(1+

1

2013×2m+1

)2013＜e 

1

2m

，---（10分）
又a_m＞0，所以a1•a2•…•am＜e 

1

2

•e 

1

4

…e 

1

2m

=e 1-

1

2m

＜e＜3．----（12分）

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握证明不等式成立时所常用的方法．