Question

已知f（θ）=sin²θ+2mcosθ-2m-2，θ∈R．
（1）对任意m∈R，求f（θ）的最大值g（m）；
（2）若f（θ）＜0对任意θ∈R恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（θ）=-（cosθ-m）²+m²-2m-1，令t=cosθ，则t∈[-1，1]，h（t）=-（t-m）²+m²-2m-1，按①m＜-1，②-1≤m≤1，③m＞1三种情况进行讨论即可求得g（m）；
（2）f（θ）＜0对任意θ∈R恒成立等价于g（m）＜0，借助（1）问结论即可求得；

解答：解：（1）f（θ）=sin²θ+2mcosθ-2m-2=1-cos²θ+2mcosθ-2m-2=-（cosθ-m）²+m²-2m-1，
令t=cosθ，则t∈[-1，1]，h（t）=-（t-m）²+m²-2m-1，
①若m＜-1，则g（m）=h（-1）=-（-1-m）²+m²-2m-1=-4m-2；
②若-1≤m≤1，则g（m）=h（m）=m²-2m-1；
③若m＞1，则g（m）=h（1）=-（1-m）²+m²-2m-1=-2；
综上所述，g（m）=

-4m-2，m＜-1 m2-2m-1，-1≤m≤1 -2，m＞1

．
（2）f（θ）＜0对任意θ∈R恒成立等价于g（m）＜0，
由（1）知，当m＜-1时，g（m）=-4m-2＜0，解得m＞-

1

2

，此时无解；
当-1≤m≤1时，g（m）=m²-2m-1＜0，解得1-

2

＜m＜1+

2

，所以1-

2

＜m≤1；
当m＞1时，g（m）=-2＜0成立；
综上，m的取值范围为：（1-

2

，+∞）．

点评：本题考查二次函数的性质及恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力．