Question

设复数z=lg（m²-2m-2）+（m²+3m+2）i，试求实数m的取值范围，使得：
（1）z是纯虚数；
（2）z是实数；
（3）z对应的点位于复平面的第二象限．

Answer 1

分析：（1）复数为纯虚数，可得它的实部为0且虚部不为0，由此建立关于m的关系式，解之即可得到实数m的值；
（2）复数为实数，可得它的虚部为0，因此建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值；
（3）z对应的点位于复平面的第二象限，说明它的实部为负数而虚部为正数，由此建立关于m的二次不等式组，解之即可得到实数m的取值范围．

解答：解：（1）若z=lg（m²-2m-2）+（m²+3m+2）i是纯虚数，则可得

lg(m2-2m-2)=0 m2+3m+2≠0

，即

m2-2m-2=1 m2+3m+2≠0

，解之得m=3（舍去-1）；…（3分）
（2）若z=lg（m²-2m-2）+（m²+3m+2）i是实数，则可得
m²+3m+2=0，解之得m=-1或m=-2…（6分）
（3）∵z=lg（m²-2m-2）+（m²+3m+2）i对应的点坐标为（lg（m²-2m-2），m²+3m+2）
∴若该对应点位于复平面的第二象限，则可得

lg(m2-2m-2)＜0 m2+3m+2＞0

，即

0＜m2-2m-2＜1 m2+3m+2＞0

，
解之得-1＜m＜1-

3

或1+

3

＜m＜3．…（10分）

点评：本题给出复数的实部和虚数都含有参数m，求复数满足条件时，实数m的取值范围．着重考查了复数的基本概念、二次不等式和方程的解法等知识，属于基础题．