Question

已知p（p≥2）是给定的某个正整数，数列{a_n}满足：a₁=1，（k+1）a_k+1=p（k-p）a_k，其中k=1，2，3，…，p-1．
（I）设p=4，求a₂，a₃，a₄；
（II）求a₁+a₂+a₃+…+a_p．

Answer 1

分析：（I）设p=4，利用（k+1）a_k+1=p（k-p）a_k，求出

ak+1

ak

=p×

k-p

k+1

，通过k=1，2，3求a₂，a₃，a₄；
（II）利用

ak+1

ak

=p×

k-p

k+1

列出

a2

a1

，

a3

a2

，…

ak

ak-1

的表达式通过连乘求出a_k，然后通过二项式定理求解求a₁+a₂+a₃+…+a_p．

解答：解：（Ⅰ）由（k+1）a_k+1=p（k-p）a_k得

ak+1

ak

=p×

k-p

k+1

，k=1，2，3，…，p-1
即

a2

a1

=-4×

4-1

2

=-6，a₂=-6a₁=-6；

a3

a2

=-4×

4-2

3

=-

8

3

，a₃=16，

a4

a3

=-4×

4-3

4

=-1，a₄=-16； （3分）
（Ⅱ）由（k+1）a_k+1=p（k-p）a_k
得：

ak+1

ak

=p×

k-p

k+1

，k=1，2，3，…，p-1
即

a2

a1

=-p×

p-1

2

，

a3

a2

=-p×

p-2

3

，…，

ak

ak-1

=-p×

p-(k-1)

k

，
以上各式相乘得

ak

a1

=(-p)k-1×

(p-1)(p-2)(p-3)…(p-k+1)

k!

 （5分）
∴ak=(-p)k-1×

(p-1)(p-2)(p-3)…(p-k+1)

k!

=(-p)k-1×

(p-1)!

k!(p-k)!

=

(-p)k-1

p

×

p!

k!(p-k)!

=-(-p)k-2×

C

k p

=-

1

p2

C

k p

(-p)k，k=1，2，3，…，p （7分）
∴a₁+a₂+a₃+…+a_p=-

1

p2

[

C

1 p

(-p)1+

C

2 p

(-p)2+

C

3 p

(-p)3+…+

C

p p

(-p)p]=-

1

p2

[(1-p)p-1] （10分）

点评：本题考查数列的应用，数列的项的求法，通项公式的求法，二项式定理的应用，考查转化思想计算能力．