Question

已知数列{a_n}中a₂=

π

3

，a₅=

5π

6

，且2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），又f（n）=cosa_n，则a_n=

nπ

6

，f（1）+f（2）+…+f（2013）=

-

3+ 3

2

．

Answer 1

分析：由已知易判断该数列为等差数列，从而可得a_n，求出f（n），利用余弦函数的周期性对称性可求得答案．

解答：解：由2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），知数列{a_n}是等差数列，则公差d=

5 6 π- π 3

3

=

π

6

，
所以an=a2+(n-2)•

π

6

，得an=

nπ

6

，
则f(n)=cos

nπ

6

，
注意到余弦函数的周期性和对称性，
又f（1）+f（2）+…+f（12）=0，
∴f（1）+f（2）+…+f（2013）=f（1）+f（2）+…+f（9）
=f（6）+f（7）+f（8）+f（9）
=cosπ+cos

7π

6

+cos

8π

6

+cos

9π

6

=-

3+ 3

2

．
故答案为：

nπ

6

，-

3+ 3

2

．

点评：本题考查利用数列递推式求数列通项、余弦函数的周期性对称性，属中档题．