Question

已知向量

m

=(ex，lnx+k)，

n

=(1，f(x))，

m

∥

n

（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，F（x）=xe^xf′（x）．
（Ⅰ）求k的值及F（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数g（x）=-x²+2ax（a为正实数），若对于任意x₂∈[0，1]，总存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）由已知可得：f（x）=

1nx+k

ex

，
∴f′(x)=

1 x -lnx-k

ex

，
由已知，f′(1)=

1-k

e

=0，
∴k=1…（2分）
∴F（x）=xe^xf'（x）=x(

1

x

-lnx-1)=1-xlnx-x，
所以F'（x）=-lnx-2…（3分）
由F′(x)=-lnx-2≥0?0＜x≤

1

e2

，
由F′(x)=-lnx-2≤0?x≥

1

e2

∴F（x）的增区间为(0，

1

e2

]，减区间为[

1

e2

，+∞)…（5分）
（II）∵对于任意x₂∈[0，1]，总存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），
∴g（x）_max＜F（x）_max…（6分）
由（I）知，当x=

1

e2

时，F（x）取得最大值F(

1

e2

)=1+

1

e2

．…（8分）
对于g（x）=-x²+2ax，其对称轴为x=a
当0＜a≤1时，g(x)max=g(a)=a2，
∴a2＜1+

1

e2

，从而0＜a≤1…（10分）
当a＞1时，g（x）_max=g（1）=2a-1，
∴2a-1＜1+

1

e2

，从而1＜a＜1+

1

2e2

…（12分）
综上可知：0＜a＜1+

1

2e2

…（13分）