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    精英家教网如图，以A1，A2为焦点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C，D，C1，D1，连接CC1与OB交于点H，且有：
    OH
    =(3+2
    		3
    )
    HB
    ．其中A1，A2，B是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距．
    （1）当c=1时，求双曲线E的方程；
    （2）试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数．
    （3）连接A1C与双曲线E交于F，是否存在
    实数λ，使
    A1F
    =λ
    FC
    恒成立，若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据题意可求得B的坐标和H的坐标，设出曲线E的方程，把点C代入曲线E，利用半焦距c联立方程求得a和b，则曲线E的方程可得．
    （2）根据题意可表示出H的坐标，设出曲线E的方程，联立方程求得a和b的关系，进而根据双曲线中a，b和c关系求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得．推断出双曲线E的离心率为常数．
    （3）先假设存在实数λ，依题意可知C点坐标，利用
    A1F
    =λ
    FC
    表示出F的坐标，分别代入双曲线的方程，联立求得λ关于e的表达式，进而根据（2）中e为常数推断出存在实数λ使题设等式成立．
    解答：解：（1）由c=1知B（0，1），∵
    OH
    =(3+2
    		3
    )
    HB
    ，
    ∴xH=0，yH=
    3+2
    		3
    4+2
    		3
    =
    		3
    2

    即H（0，
    		3
    2
    ）点C在单位圆上，∴C=（
    1
    2
    ，
    		3
    2
    ）
    设双曲线E的方程为
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0）．
    由点C的双曲线E上，半焦距c=1有：
    a2+b2=1
    1
    4a2
    -
    3
    4b2
    =1

    解得
    a2=1-
    		3
    2
    b2=
    		3
    2

    所以双曲线E的方程为：
    x2
    1-
    		3
    2
    -
    y2
    		3
    2
    =1
    （2）证明：∵A1（-c，0），B（0，c），
    由O
    H
    =(3+2
    		3
    )H
    B
    得：H（0，
    		3
    2
    ），（
    1
    2
    c，
    		3
    2
    c）
    设双曲线E的方程为
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0）
    ∴
    a2+b2=c2①
    c2
    4a2
    -
    3c2
    4b2
    =1②

    ①代入②，化简整理得3a4+6a2b2-b4=0，
    ∴(
    b
    a
    )4-6(
    b
    a
    )    2    -3=0
    解得(
    b
    a
    )    2    =3+2
    		3

    又e2=
    c2
    a2
    =1+(
    b
    a
    )    2    =4+2
    		3
    ．
    ∴e=
    		4+2
    		3
    =
    		3
    +1    ，即双曲线E的离心离是与c无关的常数．
    （3）假设存在实数λ，使A1
    F
    =λF
    C
    恒成立，
    A1（-c，0），C(
    c
    2
    ，
    		3
    c
    2
    )    有xF=
    -c+
    c
    2
    •λ
    1+λ
    ，yf=
    		3
    2
    •λ
    1+λ

    点F
    c(λ-2)
    2(1+λ)
    ，
    		3
    λ
    2(1+λ)
    点C，F都在双曲线E上，
    故有
    c2
    4a2
    -
    3c2
    4b2
    =1③
    c2(λ-2)2
    4a2(1+λ)2
    -
    3c2λ2
    4b2(1+λ)2
    ④

    由③得e2-
    3c2
    b2
    =4?
    c2
    b2
    =
    e2-4
    3
    ⑤
    ⑤代入④得
    e2(λ-2)2
    4(1+λ)2
    -(e2-4)•
    λ2
    4(1+λ)2
    =1    ，
    化简整理得-λe2+e2=2λ+1
    即λ=
    e2-1
    e2+2
    ，利用（2）小题的结论得：λ=
    3+2
    		3
    6+2
    		3
    =
    1+
    		3
    4

    故存在实数λ=
    1+
    		3
    4
    ，使A1
    F
    =λF
    C
    恒成立．
    点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，双曲线的标准方程和双曲线的简单性质．考查了运算的能力，分析问题的能力．
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    a1+a2+a2+…+an
    n
    a1+a2+a2+…+an
    n
    ．

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