Question

【题目】设定义在（0，+∞）上的函数 f（x），对于任意正实数 a、b，都有 f（ab）＝f（a）+f（b）﹣1，f（2）＝0，且当 x＞1 时，f（x）＜1．

（1）求 f（1）及的值；

（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

【答案】（1）f（）＝2；（2）见解析

【解析】

（1）可令a＝b＝1，解得f（1）＝1，再根据f（2×）＝f（2）+f（）求解f（）即可

（2）可设0＜x1＜x2，可得＞1，将f（x2）表示成f（x1），再结合f（ab）＝f（a）+f（b）﹣1的性质进行判断即可

（1）令a＝b＝1得f（1）＝f（1）+f（1）﹣1，得f（1）＝1，∵f（2）＝0，

∴f（2×）＝f（2）+f（）﹣1＝f（1），

则0+f（）﹣1＝1，得f（）＝2；

（2）证明：设0＜x1＜x2，可得＞1，可得f（）＜1，

由f（x2）＝f（x1）＝f（x1）+f（）﹣1＜f（x1），

可得函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．