Question

【题目】已知函数 为自然对数的底数．
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的值；
（3）关于 的方程 有两个实根 ，求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：对函数 求导得 ，

∴ ，

又 ，

∴曲线 在 处的切线方程为 ，即 ；

（2）

记 ，其中 ，

由题意知 在 上恒成立，下求函数 的最小值，

对 求导得 ，

令 ，得 ，

当 变化时， 变化情况列表如下：

	-	0	+
		极小值

∴ ，

∴ ，

记 ，则 ，

令 ，得 ．

当 变化时， 变化情况列表如下：

		1
	+	0	-
		极大值

∴ ，

故 当且仅当 时取等号，

又 ，从而得到 ；

（3）

先证 ，

记 ，则 ，

令 ，得 ，

当 变化时， 变化情况列表如下：

	-	0	+
		极小值

∴ ，

恒成立，即 ，

记直线 分别与 交于 ，

不妨设 ，则 ，

从而 ，当且仅当 时取等号，

由（2）知， ，则 ，

从而 ，当且仅当 时取等号，

故 ，

因等号成立的条件不能同时满足，故 ．

【解析】（1）利用导数求切线方程；（2）设 ，将题目转化为g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，然后讨论g（x）的单调性，表示出其最小值，其最小值大于等于0即可；（3）先证 ，设 ，根据h（x）的单调性求出最小值，得h（x）恒大于零，即 。记直线 分别与 交于 ，令 ，则 ，得 ，因等号成立的条件不能同时满足，故 ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．