Question

如图，四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁＝2.

(1)求三棱锥C－A₁B₁C₁的体积V；

(2)求直线BD₁与平面ADB₁所成角的正弦值；

(3)若棱AA₁上存在一点P，使得＝λ，当二面角A－B₁C₁－P的大小为30°时，求实数λ的值．

Answer 1

解：(1)在Rt△A₁AD中，∠A₁AD＝90°，A₁A＝2，AD＝1，

∴A₁D＝.

注意到点C到面A₁B₁C₁的距离即为四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的高A₁D的长，

所以V＝××A₁B₁×B₁C₁×A₁D＝.

(2)以点D为坐标原点，建立如图空间直角坐标系O－xyz，

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，A₁(0,0，)，

B₁(0,1，)，D₁(－1,0，)，C₁(－1,1，)，

∴＝(－2，－1，)，＝(1,0,0)，＝(0,1，)，

设平面ADB₁的法向量m＝(x，y，z)，

由得平面ADB₁的一个法向量为：

m＝(0，－，1)，

记直线BD₁与平面ADB₁所成的角为α，

则sin α＝||＝，

所以直线BD₁与平面ADB₁所成角的正弦值为.

(3)∵＝λ，∴P(，0，)．

又＝(－1,0,0)，＝(，－1，－)，

设平面B₁C₁P的法向量n＝(a，b，c)，

由得平面B₁C₁P的一个法向量为

n＝(0，－，1)，

则cos 30°＝＝，

注意到λ＞0，解得λ＝2为所求．