Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．
（1）求f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）若存在x 使不等式2f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0得x= ，

当x∈（0， ）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（ ，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

①当0＜t＜t+2≤ 时，t无解；

②当0＜t＜ ＜t+2时，即0＜t＜ 时， =﹣ ；

③当 ≤t＜t+2时，即t≥ 时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt；

∴f（x）min= ．

（2）解：x 时，

2f（x）≥g（x）即2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，亦即2lnx≥﹣x+a﹣ ，可化为2lnx+x+ ≥a，

令h（x）=2lnx+x+ ，则问题等价于h（x）max≥a，

h′（x）= +1﹣ = ，

当x∈[ ，1）时，h′（x）＜0，h（x）递减；当x∈（1，e]时，h′（x）＞0，h（x）递增；

又h（ ）=2ln + +3e=3e+ ﹣2，h（e）=2lne+e+ =e+ +2，

而h（e）﹣h（ ）=﹣2e+ +4＜0，所以h（e）＜h（ ），

故x 时，h（x）max=h（ ）=3e+ ﹣2，

所以实数a的取值范围是：a≤3e+ ﹣2．

【解析】（1）对函数求导，根据导函数与0的关系写出函数的单调性和区间，讨论所给的区间和求出的单调区间之间的关系，在不同条件下做出函数的最值；（2）2f（x）≥g（x）可化为2lnx+x+ ≥a，令h（x）=2lnx+x+ ，则问题等价于h（x）max≥a，利用导数可求得x 时h（x）max；
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．