Question

如图所示，△ABC和△BCE是边长为2的正三角形，且平面ABC⊥平面BCE，AD⊥平面ABC，AD=2

3

．
（Ⅰ）证明：DE⊥BC；
（Ⅱ）求BD与平面ADE所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面BDE和平面ABC所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）如图所示．取BC的中点F，连接AF，EF．利用正三角形的性质可得：AF⊥BC，EF⊥BC．利用平面ABC⊥平面BCE，可得EF⊥平面ABC．利用线面垂直的性质AD⊥平面ABC，可得AD∥EF．得到四点共面，再利用线面垂直的性质BC⊥平面AFED，可得BC⊥DE．
（II）由（I）可知：点B在平面DAEF内的射影是点F．故∠BDF即为BD与平面ADE所成角．即可得出sin∠BDF=

BF

BD

．
（III）如图所示，建立空间直角坐标系．则F（0，0，0），B（1，0，0），E(0，0，

3

)，D(0，-

3

，2

3

)．则

DE

=(0，

3

，

3

)，

BE

=(-1，0，

3

)．利用两个平面的法向量的夹角公式即可得出．

解答：（I）证明：如图所示．取BC的中点F，连接AF，EF．
∵△ABC和△BCE是边长为2的正三角形，∴AF⊥BC，EF⊥BC．
∵平面ABC⊥平面BCE，∴EF⊥平面ABC．
∵AD⊥平面ABC，∴AD∥EF．
∴四点A，D，E，F共面，
又AF∩EF=F，∴BC⊥平面AFED，
∴BC⊥DE．
（II）解：由（I）可知：点B在平面DAEF内的射影是点F．故∠BDF即为BD与平面ADE所成角．
在Rt△ABD中，BD=

AD2+AB2

=4．
∴sin∠BDF=

BF

BD

=

1

4

．
（III）解：如图所示，建立空间直角坐标系．则F（0，0，0），B（1，0，0），E(0，0，

3

)，D(0，-

3

，2

3

)．
则

DE

=(0，

3

，

3

)，

BE

=(-1，0，

3

)．
设平面BDE的法向量为

m

=(x，y，z)，

m • DE = 3 y+ 3 z=0 m • BE =-x+ 3 z=0

，令x=

3

，则z=1，y=-1．
∴

m

=(

3

，-1，1)．
取平面ABC的法向量为

n

=(0，0，1)．
则cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

1

5

=

5

5

．

点评：本题综合考查了线面与面面垂直的判定及性质、线面角、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角求出二面角等基础知识与基本技能方法，属于难题．