Question

设椭圆的方程为 ，斜率为1的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，为线段的中点.
（1）问：直线与能否垂直？若能，之间满足什么关系；若不能，说明理由；
（2）已知为的中点，且点在椭圆上.若，求椭圆的离心率.

Answer 1

（1）直线与不能垂直；（2）

试题分析：（1）设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去整理为关于的一元二次方程，因为有两个交点则判别式应大于0，由韦达定理可得根与系数的关系，用中点坐标公式求点的坐标。求出直线的斜率，假设两直线垂直则斜率相乘等于，解出的关系式，根据关系式及椭圆中的关系判断假设成立与否。（2）∵M为ON的中点，M为AB的中点，∴四边形OANB为平行四边形.
∵，∴四边形OANB为矩形，∴，转化为向量问题，可得的关系式。由中点坐标公式可得点的坐标，将其代入椭圆方程，与上式联立消去即可得之间满足的关系式。将代入之间的关系式，可求其离心率。
试题解析：解答：（1）∵斜率为1的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，
∴可以设直线的方程为.
∵，∴，
∴.    ①             1分
∵直线与椭圆相交于两点，∴

. ②          2分
且.  ③              3分
∵为线段的中点，∴,
∴，∴.     4分
假设直线与能垂直.
∵直线的斜率为1，∴直线的斜率为-1，
∴，∴.                  5分
∵在椭圆方程中，，
∴假设不正确，在椭圆中直线与不能垂直.             6分
（2）∵M为ON的中点，M为AB的中点，∴四边形OANB为平行四边形.
∵，∴四边形OANB为矩形，∴，         7分
∴，∴，∴，
∴，
∴，整理得.   8分
∵点在椭圆上，∴，∴.    9分
此时，满足，
消去得，即.            10分
设椭圆的离心率为e，则，∴，
∴，∴，
∴，∵，∴.