Question

（2009•湖北模拟）已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n(n为奇数) an-2n(n为偶数)

且b_n=a_2n-2（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（3）若C_n=-nb_n，S_n为为数列{C_n}的前n项和，求S_n-2．

Answer 1

分析：（1）分别将n=1，2，3，4代入到a_n+1=

1 2 an+n(n为奇数) an-2n(n为偶数)

中即可得到a₂，a₃，a₄的值．
（2）根据b_n=a_2n-2，然后进行整理即可得到b_n+1=

1

2

b_n，从而证明数列{b_n}是等比数列，进而可求出数列{b_n}的通项公式．
（3）先根据（2）中{b_n}的通项公式求出 C_n=-nb_n，利用错位相减法求得数列{C_n}的前n项和，进而求得S_n-2．

解答：（1）解：a₂=

3

2

，a₃=-

5

2

，a₄=

7

4

；
（2）证明：

bn+1

bn

=

a2n+2-2

a2n-2

=

1 2 a2n+1+2n+1-2

a2n-2

=

1 2 (a2n-4n)+2n-1

a2n-2

=

1 2 a2n-1

a2n-2

=

1

2

，
又b₁=a₂-2=-

1

2

∴数列{b_n}是公比为

1

2

的等比数列
b_n=（-

1

2

）•(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n
（3）由（2）知c_n=n(

1

2

)n
S_n=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n(

1

2

)n①

1

2

S_n=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+（n-1）(

1

2

)n+n(

1

2

)n+1②
①-②得：

1

2

S_n=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1
=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•

1

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

∴S_n=2-

2

2n

-

n

2n

=2-

n+2

2n

∴S_n-2=-

n+2

2n

点评：此题考查了有数列的递推关系求前4项的数值，等比数列的定义及通项公式，错位相减法求数列的前n项和，考查运算能力，属中档题．