Question

【题目】已知函数f（x）=x+ ﹣3lnx（a∈R）．
（1）若x=3是f（x）的一个极值点，求a值及f（x）的单调区间；
（2）当a=﹣2时，求f（x）在区间[1，e]上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），

由题有f′（x）=1﹣ ﹣ ，

所以由x=3是函数f（x）的一个极值点得f′（3）=1﹣ ﹣1=0，解得：a=0，

此时f′（x）=1﹣ = ，

所以，当x＞3时，f′（x）＞0；当0＜x＜3时，f′（x）＜0，

即函数f（x）在（3，+∞）单调递增；在（0，3）单调递减．

所以函数f（x）的单调递增区间为（3，+∞），单调递减区间为（0，3）

（2）解：因为a=﹣2，所以f（x）=x﹣ ﹣3lnx，

f′（x）=1+ ﹣ = ，

所以，当0＜x＜1或x＞2时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0，

所以函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（2，+∞）；单调递减区间为（1，2），

又x∈[1，e]，所以f（x）在[1，2]递减，在[2，e]递增，

所以f（x）的最小值f（x）min=f（2）=1﹣3ln2，

又f（1）=﹣1，f（e）=e﹣ ﹣3及f（e）﹣f（1）=e﹣ ﹣2＜2.72﹣ ﹣2= ＜0，

所以f（x）的最大值为f（x）max=f（1）=﹣1

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出f（x）的最小值，计算f（e），f（1）的大小，求出f（x）的最大值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．