Question

过点M（2，-2p）作抛物线x²=2py（p＞0）的两条切线，切点分别为A、B，若线段AB中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为

x²=2y或x²=4y

．

Answer 1

分析：设过点M的抛物线的切线方程与抛物线的方程联立，利用方程的判别式等于0，再利用韦达定理，结合线段AB中点的纵坐标为6，可求抛物线的方程．

解答：解：设过点M的抛物线的切线方程为：y+2p=k（x-2）与抛物线的方程联立消y得：x²-2pkx+4pk+4p²=0
此方程的判别式等于0，∴pk²-4k-4p²=0
设切线的斜率分别为k₁，k₂，则k₁+k₂=

4

p

此时x=pk，∴y=

x2

2p

=

pk2

2

=2(k+p)
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则12=y₁+y₂=2（k₁+k₂）+4p=

8

p

+4p
∴p²-3p+2=0
∴p=1或p=2
∴所求抛物线的方程为x²=2y或x²=4y
故答案为：x²=2y或x²=4y．

点评：本题考查抛物线的切线，考查韦达定理的运用，考查中点坐标公式，属于中档题．