Question

当n∈N^*时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数．如N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（10）=5，记
S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…N（2ⁿ）（n∈N），则S（n）=________．

Answer 1

解：因为当n∈N^*时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，利用此定义有知道：N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（6）=3，N（7）=7，N（8）=1，N（9）=9，N（10）=5，…，N（所以S_n=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（2ⁿ），
而S₂-S₁=N（3）+N（4）=4，
S₃-S₂=N（5）+N（6）+N（7）+N（8）=16，
S₄-S₃=64，
…
S_n-S_n-1=N（2^n-1+1）+N（2^n-1+2）+…+N（2^n-1+2^n-1）=4^n-1．
以上各式相加得：，而S₁=N（1）+N（2）=2，代入得到：．
分析：由题意当n∈N^*时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，利用此定义有知道：N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（6）=3，N（7）=7，N（8）=1，N（9）=9，N（10）=5，…从写出的这些项及S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…N（2ⁿ）利用累加法即可求得．
点评：此题重点考查了学生对于新定义的准确理解，另外找准要求的和式具体的数据，有观察分析要求的和式的特点选择累加求和，并计算中需用等比数列的求和公式，累加法注意写出的式子必须是减号且出现前后可以抵消的式子才可用此方法，重点是了学生的理解能力及计算能力．