Question

已知双曲线C：2x²-y²=2与点P（1，2）.

（1）求过点P（1，2）的直线l的斜率k的取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.

（2）是否存在过P点的弦AB，使AB中点为P？

（3）若Q（1，1），试判断以Q为中点的弦是否存在？

Answer 1

解：（1）设直线l的方程为y-2=k(x-1)，代入C的方程，并整理得（2-k²）x²+2(k²-2k)x-k²+4k-6=0,（*）

当k=±时，方程组有唯一解.

当k≠±时，由Δ=0，得k=.

所以当k=±或k=或k不存在时，l与C只有一个交点.

如图，当＜k＜或k＜-或-＜k＜时，l与C有两个交点.

当k＞时，l与C无交点.

（2）假设以P为中点的弦AB存在，

设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),

则x₁、x₂是方程（*）的两个根，

由韦达定理得=1,

解得k=1.

所以这样的弦存在，方程为y=x+1.

(3)假设弦AB以Q为中点，且A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),

所以2x₁²-y₁²=2,2x₂²-y₂²=2.

两式相减，得2(x₁+x₂)(x₁-x₂)=(y₁+y₂)(y₁-y₂),

所以2(x₁-x₂)=y₁-y₂.

所以AB的斜率为2，但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点.

所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.