Question

（2012•奉贤区二模）数列{a_n} 的各项均为正数，a₁=t，k∈N^*，k≥1，p＞0，a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_n+k=6pⁿ
（1）当k=1，p=5时，若数列{a_n}是成等比数列，求t的值；
（2）当t=1，k=1时，设T_n=a₁+

a2

p

+

a3

p2

+…+

an-1

pn-1

+

an

pn-1

，参照高二教材书上推导等比数列前n项求和公式的推导方法，求证：数列

1+p

p

Tn-

an

pn

-6n是一个常数；
（3）设数列{a_n}是一个等比数列，求t（用p，k的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）由an+an+1=6•5n，an+1+an+2=6•5n+1，得到等比数列（a_n}的公比q=5，由此能求出t的值．
（2）Tn=a1+

a2

p

+

a3

p2

+…+

an-1

pn-2

+

an

pn-1

，

1

p

Tn=a1+

a1+a2

p

+

a2+a3

p2

+…+

an-1+an

pn-1

+

an

pn

，由此能够证明

1+p

p

Tn-

an

Pn

-6n=a₁-6=-5．
（3）an+an+1+an+2+…+an+k=6pn，an+1+an+2+an+3+…+an+1+k=6pn+1，数列{a_n}是一个等比数列，所以求出公比为p，由此能求出t．

解答：解：（1）an+an+1=6•5n，
an+1+an+2=6•5n+1，…（2分）
设等比数列（a_n}的公比是q，
则an+an+1=6•5n•5，
∴q=5，…（4分）
n=1时，t+5t=30，∴t=5．…（5分）
（2）证明：Tn=a1+

a2

p

+

a3

p2

+…+

an-1

pn-2

+

an

pn-1

，

1

p

Tn=a1+

a1+a2

p

+

a2+a3

p2

+…+

an-1+an

pn-1

+

an

pn

，…（7分）
∴（1+

1

p

）T_n=2a₁+

a1+2a2

p

+

a2+2a3

p2

+…+

an-1+2an

pn-1

+

an

pn

=a1+6n-6+

an

pn

，…（9分）
∴

1+p

p

Tn-

an

Pn

-6n=a₁-6=-5．…（10分）
（3）an+an+1+an+2+…+an+k=6pn，
an+1+an+2+an+3+…+an+1+k=6pn+1，…（11分）
数列{a_n}是一个等比数列，所以求出公比为p，…（13分）
∴t（p^n-1+pⁿ+…+p^n+k-1）=6pⁿ，…（15分）
当p=1时，t（k+1）=6，∴t=

6

k+1

，…（16分）
当p≠1，且p＞0时，t

pn-1(1-pk+1)

1-p

=6pⁿ，
∴t=

6p(1-p)

1-pk+1

．…（17分）

点评：本题考查数列的综合运用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，有一定的探索性，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．