Question

如图所示，以AB=4cm，BC=3cm的长方形ABCD为底面的长方体被平面斜着截断的几何体，EFGH是它的截面．当AE=5cm，BF=8cm，CG=12cm时，试回答下列问题：
（1）求DH的长；
（2）求这个几何体的体积；
（3）截面四边形EFGH是什么图形？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）过E作EB₁⊥BF，垂足为B₁，通过平面ABFE∥平面DCGH，说明EF∥HG．过H作HC₁⊥CG，垂足为C₁，然后求DH的长；
（2）作ED₁⊥DH，垂足为D₁，B₁P⊥CG，垂足为P，连接D₁P，B₁C₁，则几何体被分割成一个长方体ABCD-EB₁PD₁，一个斜三棱柱EFB₁-HGC₁，一个直三棱柱EHD₁-B₁C₁P．分别求出体积，即可求这个几何体的体积；
（3）截面四边形EFGH是菱形．先说明EFGH是平行四边形，然后通过计算证明EF=EH．从而证明结论正确．

解答：解：（1）过E作EB₁⊥BF，垂足为B₁，则BB₁=AE=5（cm），
所以B₁F=8-5=3（cm）．
因为平面ABFE∥平面DCGH，EF和HG是它们分别与截面的交线，所以EF∥HG．
过H作HC₁⊥CG，垂足为C₁，
则GC₁=FB₁=3（cm），
DH=12-3=9（cm）．
（2）作ED₁⊥DH，垂足为D₁，B₁P⊥CG，垂足为P，连接D₁P，B₁C₁，则几何体被分割成一个长方体ABCD-EB₁PD₁，一个斜三棱柱EFB₁-HGC₁，一个直三棱柱EHD₁-B₁C₁P．从而几何体的体积为
V=3×4×5+

1

2

×3×4×3+

1

2

×3×4×4=102（cm³）．
（3）是菱形．
证明：由（1）知EF∥HG，同理EH∥FG．于是EFGH是平行四边形．
因为EF=

EB 2 1 +B1F2

=

42+32

=5（cm），
DD₁=AE=5（cm），ED₁=AD=3（cm），
HD₁=4（cm），
所以EH=

ED 2 1 +D1H2

=

32+42

．=5（cm）．
所以EF=EH．
故EFGH是菱形．

点评：本题是中档题，考查组合体的体积，学生作图能力，空间想象能力，计算能力，线段的长度、体积的求解、以及证明的思路比较固定，难度不大．