Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）对a∈(0，1)，是否存在实数λ，，使成立，若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一见解析（2）存在，.

【解析】

（1）求函数导数，分三种情况，分析与的关系，即可求出函数的单调区间；

（2）由题意转化为且，利用导数求出，，即转化为，构造函数，利用导数可求出，即可求解.

（1）的定义域为，

，

①当a=0时，，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

②当a>0时，， ，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

③当a<0时，，

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）由，得，当时，时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

所以，故当时，

当时，，由（1）知，当时，

所以，

若对使成立，即

则且.

所以，所以 .

设，则，

令则，

当时，由，故，

所以，故，

所以在[0,1]上单调递减，

所以时，，即,

又时, ,

所以当时，单调递减，

所以当时，，

即时，，故.

所以当时，对

使成立.