Question

已知：⊙M的方程为x²+（y-2）²=1，Q点是x轴上的动点，QA、QB分别切⊙M于A、B．
（1）求弦AB中点P的轨迹方程；
（2）若|AB|＞

4 2

3

，求点Q的横坐标x_Q的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用圆切线的性质得到M、P、Q三点共线，MA⊥AQ于P；利用直角三角形的射影定理得到P，Q的坐标间的关系；利用三点关系
得到P，Q的另一个等式，两式联立，消去Q的坐标，得到P的轨迹方程．
（2）利用直角三角形的勾股定理将AP用MP的长不是，利用两点距离公式将AP长用p的坐标表示，进一步用Q的坐标表示，列出不等式求出Q的坐标的取值范围．

解答：解：（1）连接MA、MQ，则M、P、Q三点共线，MA⊥AQ于P．
设P（x，y），其中-1＜x＜1，1＜y＜2，Q（x_Q，0）∵|AM|²=|MP|•|MQ|

(x-0)2+(y-2)2

•

(xQ-0)2+(0-2)2

=1
∴

x2+(y-2)2

•

( x Q 2 +4)

=1①
又当x₀≠0时，∵K_MP=K_MO
∴

y-2

x-0

=

0-2

xQ-0

即xQ=

-2x

y-2

②
将②式代入①式得：[x2+(y-2)2]•[

4x2

(y-2)2

+4]=1[x2+(y-2)2]•

x2+(y-2)2

(y-2)2

=

1

4

[x2+(y-2)2]2=

1

4

(y-2)2x2+(y-2)2=

|y-2|

2

∵y＜2x2+(y-2)2=

1

2

(2-y)
即x2+y2-

7

2

y+3=0，即x2+(y-

7

4

y)2=

1

16

∵x_Q≠0，
∴x≠0
又当x_Q=0时，由②知x=0代入①得|y-2|=

1

2

，
解得y=

3

2

将(0，

3

2

)代入x2+(y-

7

4

)2=

1

16

满足方程，
所以(0，

3

2

)在所求轨迹上，
所以x2+(y-

7

4

)2=

1

16

(y≠2)为所求的轨迹方程．
（2）∵|AB|＞

4 2

3

，
∴|AP|=

1

2

|AB|＞

2 2

3

|AP|²=|MA|²-|MP|²=1-|MP|²＞

8

9

1-[（2-y）²+x²]＞

8

9

x²+（2-y）²＜

1

9

由（1）得

1

x 2 Q +4

＞

1

9

x_Q²+4＞9，x_Q²＞5
∴x_Q＞

5

或x_Q＜-

5

点评：本题考查过圆外一点做圆的两条切线，圆心与该点的连线垂直平分两切点连线；直角三角形的射影定理；直角三角形的勾股定理．