Question

【题目】已知函数f（x）=ex+.

（I）当a=时，求函数f（x）在x=0处的切线方程；

（II）函数f（x）是否存在零点?若存在，求出零点的个数；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=－3x－l.（2）见解析

【解析】分析：（I）求得函数的导数，得，即可利用直线的点斜式方程得到切线的方程；

（II）由函数的解析式，分类和讨论，其中当时，利用导数求解函数的单调性与最值，即可得到函数零点的个数.

详解：（I）f（x）=ex+，f'（x）=ex－，f' （0）=1－.

当a=时，f'（0）=－3. 又f（0）=－1，则f（x）在x=0处的切线方程为y=－3x－l.

（II）函数f（x）的定义域为（－，a）（a，+）.

当x∈（a，+）时，ex>0，>0，所以f（x）=ex+>0，

即f（x）在区间（a，+∞）上没有零点.

当x∈（－∞，a）时，f（x）=ex+=，

令g（x）=ex（x－a）+1，只要讨论g（x）的零点即可.

g'（x）=ex（x－a+1），g'（a－1）=0.

当x∈（－∞，a－1）时，g'（x）<0，g（x）是减函数；

当x∈（a－1，a）时，g'（x）>0，g（x）是增函数，

所以g（x）在区间（－∞，a）上的最小值为g（a－1）=1－ea－1.

当a=1时，g（a－1）=0，所以x=a－1是f（x）的唯一的零点；

当a<l时，g（a－1）=1－ea－1>0，所以f（x）没有零点；

当a>l时，g（a－1）=1－ea－1<0. 所以f（x）有两个零点.