Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）证明当时，关于的不等式恒成立；

（Ⅲ）若正实数满足，证明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析

【解析】试题分析：（1）求导函数，从而可确定函数的单调性；（2）构造函数，利用导数研究其最值，将恒成立问题进行转化；（3）将代数式放缩，构造关于的一元二次不等式，解不等式即可．

试题解析：（Ⅰ） ，

由，得，

又，所以.

所以的单调减区间为，函数的增区间是.

（Ⅱ）令 ，

所以 .

因为，

所以.

令，得.

所以当，；

当时，.

因此函数在是增函数，在是减函数.

故函数的最大值为

.

令，因为，

又因为在是减函数.

所以当时，，

即对于任意正数总有.

所以关于的不等式恒成立.

（Ⅲ）由，

即 ，

从而 .

令，则由得，.

可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

所以，

所以，

又，

因此成立.