Question

数列{a_n}的前N项和为S_n(N∈N^*)，S_n=(M+1)-ma_n对任意的N∈N^*都成立，其中M为常数，且M＜-1.

(1)求证:数列{a_n}是等比数列;

(2)记数列{a_n}的公比为q,设q=f(M).若数列{b_n}满足:b₁=a₁,b_n=f(b_n-1)(N≥2,N∈N^*),求证:数列{}是等差数列;

(3)在(2)的条件下,设c_n=b_n·b_n+1,数列{c_n}的前N项和为T_N,求证:T_N＜1.

Answer 1

证明：(1)当n=1时，a₁=S₁=1.

∵S_n=(m+1)-ma_n, ①

∴S_n-1=(m+1)-ma_n-1(n≥2). ②

①-②得a_n=ma_n-1-ma_n(n≥2)∴（m+1）a_n=ma_n-1.

∵a₁≠0,m＜-1,∴a_n-1≠0,m+1≠0.∴=(n≥2).

∴数列｛a_n｝是首项为1,公比为的等比数列.

(2)f(m)=,b₁=a₁=1,b_n=f(b_n-1)=.

∴=.∴-=1(n≥2).

∴数列｛｝是首项为1,公比为1的等比数列.

(3)由（2）得=n,则b_n=.c_n=b_n·b_n+1=.

T_n=++…+=-+-+-+…+-=1-＜1.