Question

己知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n，n为奇数 an-2n，n为偶数

（1）求a₂，a₃；
（2）设b_n=a_2n-2，n∈N^*，求证{b_n} 是等比数列，并求其通项公式；
（3）在（2）条件下，求数列{a_n} 前100项中的所有偶数项的和S．

Answer 1

分析：（1）直接把n=2，3代入数列递推公式即可求出a₂，a₃；
（2）由题意可得b_n+1=a_2n+2-2=

1

2

a_2n+1+（2n+1）-2=

1

2

a_2n-1=

1

2

b_n，然后根据比数列来求数列{b_n}的通项公式；
（3）把数列{a_n}中的所有项都用数列{b_n}的通项表示出来，再采用分组求和法求其前100项的和即可．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得，a2=

1

2

a1+1=

1

2

×1+1=

3

2

，a₃=a₂-4=-

5

2

，（4分）
（Ⅱ）∵

bn+1

bn

=

a2n+2-2

a2n-2

=

1 2 a2n+1+2n+1-2

a2n-2

=

1 2 (a2n-4n)+2n-1

a2n-2

=

1 2 a2n-1

a2n-2

=

1

2

    （6分）
∵b1=a2-2=-

1

2

     （9分）
∴数列{b_n}是等比数列，且bn=-

1

2

×(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n （l0分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得a_2n=b_n+2=2-(

1

2

)n（n=1，2，…50）（12分）
∴S=a₂+a₄+…+a₁₀₀=2×50-

1 2 (1- 1 250 )

1- 1 2

=100-1+

1

250

=99+

1

250

（14分）

点评：题主要考查数列递推关系式的应用以及数列求和的分组求和法，是对数列知识的综合考查，具有一定的综合性．