Question

【题目】已知函数f(x)＝(x﹣1)|x﹣a|﹣x﹣2a(x∈R).

(1)若a＝﹣1,求方程f(x)＝1的解集;

(2)若 ,试判断函数y＝f(x)在R上的零点个数.

Answer 1

【答案】(1).(2)答案见解析

【解析】

（1）因式分解即可求解方程；

（2）对a分类讨论求解零点个数.

(1)当a＝﹣1时，由f(x)＝1得:(x﹣1)|x+1|﹣(x﹣1)＝0，即(x﹣1)(|x+1|﹣1)＝0，

解得x＝1或|x+1|＝1，则有x＝1或x＝0或x＝﹣2，

即解集为{0，1，﹣2};

(2)f(x)，

当a＝0时，f(x)＝(x﹣1)|x|﹣x，由f(x)＝0，可得x＝0，2，两个零点；

当0＜a＜2时，当x＜a时，f(x)＝﹣(x)2a(a﹣12)，

a＜a，可得f(x)在(﹣∞，a)递增，(a，a)递减，即f(x)在x＜a有最大值a(a﹣12)＜0，

当x≥a时，f(x)＝(x)2(a+4)2+3，a，

可得f(x)在(a，a+1)递减，(a+1，+∞)递增，

即f(x)在x≥a有最小值(a+4)2+3＜0，

且在x→﹣∞时，f(x)→﹣∞;在x→+∞时，f(x)→+∞，则f(x)在0＜a＜2时，只有一个零点;

当a＜0时，当x＜a时，f(x)＝﹣(x)2a(a﹣12)，

a＞a，可得f(x)在(﹣∞，a)递增，即f(x)在x＜a时，f(x)＜f(a)＝﹣3a＞0，

当x≥a时，f(x)＝(x)2(a+4)2+3，a，

可得f(x)在(a，a+1)递减，(a+1，+∞)递增，

即f(x)在x≥a有最小值(a+4)2+3＜0，

且在x→﹣∞时，f(x)→﹣∞;在x→+∞时，f(x)→+∞，则f(x)在a＜0时，有三个零点；

综上可得y＝f(x)在R上的零点个数:

当，一个零点，当，两个零点，当，三个零点