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    已知两条互相平行的直线l1，l2之间的距离为常数a，这两条直线与边长为1的正方形的四条边分别交于点M，N，P，Q（按逆时针方向排列且均不与正方形的顶点重合）．
    （理科生做）试问是否存在常数a，使得四边形MNPQ的两条对角线的夹角θ为定值？若存在，求出所有的常数a及相应的θ的值；若不存在，说明理由．
    （文科生做）当a=时，四边形MNPQ的两条对角线的夹角θ是否为定值？若是，求出θ的值；若不是，说明理由．
    【答案】分析：（理科）以正方形的一组边所在的直线为x坐标轴建立平面直角坐标系，由正方形的对称性不妨设直线l1分别交边AB，BC于M，N，l2分别交边CO，OA于P，Q，直线l1的方程为y=kx+b1，直线l2的方程为y=kx+b2（k＜0，b1＞b2），由题意得点M（1，k+b1），P（0，b2），Q（），由几何图形可知，对于任意常数a（0＜a＜），都有无数个k使得两平行线l1，l2与正方形四条边相交，所以可设直线NQ的斜率KNQ存在，若使得四边形MNPQ的两条对角线的夹角θ为定值，由题意可得，=，KPM=k+b1-b2．分θ为定值90°，及θ≠90°，根据直线的夹角公式可求
    （文科）：以正方形的一组边所在的直线为x坐标轴建立平面直角坐标系，，由正方形的对称性不妨设直线l1分别交边AB，BC于M，N，l2分别交边CO，OA于P，Q，直线l1的方程为y=kx+b1，直线l2的方程为y=kx+b2（k＜0，b1＞b2）
    由题意得点M（1，k+b1），，P（0，b2），Q（）
    当a=时，取k=-1，可求直线MP与QN的夹角，又取k=-时，则由直线的夹角公式可得直线MP与NQ的夹角，从而可得
    解答：（理科）解：以正方形的一组边所在的直线为x坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示
    由正方形的对称性不妨设直线l1分别交边AB，BC于M，N，l2分别交边CO，OA于P，Q，直线l1的方程为y=kx+b1，直线l2的方程为y=kx+b2（k＜0，b1＞b2）
    由题意得点M（1，k+b1），P（0，b2），Q（）（1分）
    由几何图形可知，对于任意常数a（0＜a＜），都有无数个k使得两平行线l1，l2与正方形四条边相交，所以可设直线NQ的斜率KNQ存在
    由题意可得，=，KPM=k+b1-b2（2分）
    当直线l1，l2变化时，若存在常数a使得θ为定值90°，则（1）
    ∵直线l1，l2之间的距离为，化简可得，
    代入（1）可得，，与a为常数矛盾，所以夹角θ不可能是定值90°（4分）
    ∴四边形MNPQ的两条对角线PM，NQ的夹角θ应满足
    =
    =
    =
    =
    令，则tanθ==（6分）
    ∴当且仅当a=1，tanθ为定值1
    经检验，当常数a=1时，四边形MNPQ的两条对角对角线的夹角θ为定值（8分）
    （文科））解：以正方形的一组边所在的直线为x坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示
    由正方形的对称性不妨设直线l1分别交边AB，BC于M，N，l2分别交边CO，OA于P，Q，直线l1的方程为y=kx+b1，直线l2的方程为y=kx+b2（k＜0，b1＞b2）
    由题意得点M（1，k+b1），，P（0，b2），Q（）（2分）
    当a=时，取k=-1，则直线QN的斜率不存在，此时直线MP的斜率为0，直线MP与QN的夹角（5分）
    又取k=-时，则直线MP与NQ的斜率分别为，
    KPM•KQN≠1，此时夹角
    ∴，直线PM与QN的夹角θ不能为定值（8分）

    点评：本题主要考查了了两直线的夹角公式及两平行线的距离公式的应用，考查了考试的逻辑推理与运算的能力的综合考查
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    10、下列命题中，正确命题的序号为
    ④⑤
    ．
    ①经过空间任意一点都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行；
    ②已知平面α，直线a和直线b，且a∩α=a，b⊥a，则b⊥α；
    ③有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；
    ④三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直；
    ⑤三棱锥的四个面可以都是直角三角形．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    下列命题中，正确命题的序号为______．
    ①经过空间任意一点都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行；
    ②已知平面α，直线a和直线b，且a∩α=a，b⊥a，则b⊥α；
    ③有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；
    ④三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直；
    ⑤三棱锥的四个面可以都是直角三角形．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    下列命题中，正确命题的序号为______．
    ①经过空间任意一点都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行；
    ②已知平面α，直线a和直线b，且a∩α=a，b⊥a，则b⊥α；
    ③有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；
    ④三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直；
    ⑤三棱锥的四个面可以都是直角三角形．

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    科目：高中数学 来源：2011年湖北省荆州市松滋二中高考数学限时训练（解析版） 题型：解答题

    下列命题中，正确命题的序号为    ．
    ①经过空间任意一点都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行；
    ②已知平面α，直线a和直线b，且a∩α=a，b⊥a，则b⊥α；
    ③有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；
    ④三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直；
    ⑤三棱锥的四个面可以都是直角三角形．

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    科目：高中数学 来源：2011年江苏省连云港市东海高级中学高考数学三模试卷（解析版） 题型：解答题

    下列命题中，正确命题的序号为    ．
    ①经过空间任意一点都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行；
    ②已知平面α，直线a和直线b，且a∩α=a，b⊥a，则b⊥α；
    ③有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；
    ④三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直；
    ⑤三棱锥的四个面可以都是直角三角形．

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