Question

（本小题满分13分）某市“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研，据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为.现已知相距的，两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数,，它们连线上任意一点C处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和.设.
(1) 试将表示为的函数；
(2) 若时,在处取得最小值，试求的值.

Answer 1

（1）（2）

解析试题分析：（1）设点C受A污染源污染指数为，
点C受B污染源污染指数为，
其中k为比例系数，且k＞0,
从而点C处污染指数.                         ……5分
（2） 因为，所以，，=，
令=0，得，
当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.
∴当时，函数取得最小值，又此时，解得，
经验证符合题意.
所以，污染源B的污染强度的值为.                            ……13分
考点：本小题主要考查利用导数求解实际问题中的最值问题，考查了学生从实际问题向数学问题转化的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.
点评：从实际问题中抽象数学模型时，一定不要忘记函数的实际定义域，利用导数研究函数的单调性时，要把单调性说清楚，必要时可以画表格辅助说明.