Question

已知函数=，其中a≠0．

（1）若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合．

（2）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）的取值集合为．

（2）存在使成立．且的取值范围为 ．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾，又，故．

而令

当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，

取最小值

于是对一切恒成立，当且仅当

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减．

故当时，取最大值．因此，当且仅当即时，①式成立．

综上所述，的取值集合为．

（Ⅱ）由题意知，

令则

令，则．

当时，单调递减；当时，单调递增．

故当，即

从而，又

所以

因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且．故当且仅当时， ．

综上所述，存在使成立．且的取值范围为 ．

考点：导数的运用

点评：主要是考查了导数在研究函数最值，以及函数的最值的运用，属于难度题。