Question

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，x轴被抛物线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的长半轴长．
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）设C₂与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l：y=kx与C₂相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C₁相交于D，E．
①证明：

MD

•

ME

为定值；
②记△MDE的面积为S，试把S表示成k的函数，并求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知

c

a

=

3

2

，根据a²=b²+c²，可得a=2b，又x轴被抛物线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的长半轴长．
，从而可求得a=2，b=1，故可求C₁，C₂的方程；
（2）①由

y=kx y=x2-1

得x²-kx-1=0，从而可证明MA⊥MB，所以MD⊥ME，故

MD

•

ME

=0
②设A（x₁，kx₁），B（x₂，kx₂），可求得直线AM、BM的方程，分别代入

x2

4

+y2=1，从而求得D，E的坐标，进而可得面积S△MDE=S=

1

2

|MD||ME|=

32 k2+4

4k2+25

(k∈R)，令

k2+4

=t，t≥2，从而S=

32t

4t2+9

=

32

4t+ 9 t

(t≥2)，借助于函数的单调性可求S的最大值．

解答：解：（1）由已知

c

a

=

3

2

，
又a²=b²+c²，可解得a=2b  ①
在y=x²-b中，令y=0，得x=±

b

∴2

b

=a②
由①②得，a=2，b=1
∴C1：

x2

4

+y2=1，C2：y=x2-1
（2）①证明：由

y=kx y=x2-1

得x²-kx-1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1
∵M（0，-1），
∴

MA

•

MB

=(x1，y1 +1)•(x1，y2+1)=x₁x₂+（y₁+1）（y₂+1）=x1x2+y1y2+y1+y2+1=  -1-k2+k2+1=0
∴MA⊥MB
∴MD⊥ME
∴

MD

•

ME

=0
②解：设A（x₁，kx₁），B（x₂，kx₂）
∵A在y=x²-1上，
∴kx1=

x

2 1

-1
即∴kx1+1=

x

2 1

，
∴kAM=

kx1+1

x1

=x1，
∴直线AM方程为：y=x₁x-1代入

x2

4

+y2=1，得(

1

4

+

x

2 1

)x-2x1x=0，
∴D(

8x1

4 x 2 1 +1

，

4 x 2 1 -1

4 x 2 1 +1

)，同理E(

8x2

4 x 2 2 +1

，

4 x 2 2 -1

4 x 2 2 +1

)
∴S△MDE=S=

1

2

|MD||ME|=

32 k2+4

4k2+25

(k∈R)
令

k2+4

=t，t≥2
∴S=

32t

4t2+9

=

32

4t+ 9 t

(t≥2)
又u=4t+

9

t

在t∈[2，+∞）时，u为增函数，
∴umin=

25

2

，此时t=2
∴k=0时，Smax=

64

25

点评：本题以椭圆的性质为载体，考查曲线方程的求解，考查利用向量的知识证明向量的垂直，同时考查函数最值的求法，应注意基本不等式的使用条件，否则会做错．