Question

已知函数，数列{x_n}满足x₁=1，x_n+1=f（x_n），n∈N^*
（1）求数列{x_n}的通项公式．
（2）记a_n=x_nx_n+1，S_n=a₁+a₂+…+a_n，n∈N^*，求证：S_n＜3．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由f（x）的式子给出x_n+1的表达式，然后变形得出表达式，再用等差数列的定义得出数列是以公差为的等差数列，最后由等差数列的通项公式给出{x_n}的表达式；
（2）先求出a_n，用拆项求和的方法进行求和式，根据变量n的范围进行放缩，最后从所得范围中证得结论．
解答：解：（1）由题意，
由得
∴（4分）
于是数列是以公差为的等差数列，且首项为1，
故，
所以．            （8分）
证明：（2）（11分）
∴
=（15分）
点评：本题综合了函数、数列、不等式三个常见考点，属于难题．第一小问构造一个等差数列，抓住函数的表达式是解题的关键；第二小问求证不等式，注意运用拆项求和的方法进行解答．