Question

函数f（x）=x-ln（x+1），数列{a_n}，满足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），数列{b_n}满足b1=

1

2

，bn+1=

1

2

(n+1)bn，n∈N+，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：0＜a_n+1＜a_n＜1；
（3）若a1=

2

2

且a_n+1＜

an2

2

，则当n≥2时，求证：b_n＞a_n•n!

Answer 1

分析：（1）由已知可得f′（x）=

x

x+1

，利用导数可求得函数f（x）的递减区间（-1，0），递增区间（0，+∞）；
（2）先用数学归纳法证明0＜a_n＜1，n∈N^*．再由a_n+1-a_n=-ln（1+a_n）＜0，可得0＜a_n+1＜a_n＜1；
（3）由b1=

1

2

，bn+1=

1

2

(n+1)bn，可得

bn+1

bn

=

n+1

2

，迭乘后可得bn=

1

2n

•n!，结合（2）中结论，可得an＜

1

2n

，进而得到：b_n＞a_n•n!．

解答：解：（1）∵f（x）=x-ln（x+1），x∈（-1，+∞）
∴f′（x）=1-

1

x+1

=

x

x+1

∵当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0
∴函数f（x）的递减区间（-1，0），递增区间（0，+∞）
证明：（2）先用数学归纳法证明0＜a_n＜1，n∈N^*．
①当n=1时，由已知得结论成立．
②假设n=k时，0＜a_k＜1成立．
则当n=k+1时由（1）可得函数f（x）=x-ln（1+x）在x∈（0，1）上是增函数，
所以f（0）＜f（a_k）＜f（1）=1-ln2＜1，
所以0＜a_k+1＜1，即n=k+1时命题成立，
由①②可得0＜a_n＜1，n∈N^*成立．
又a_n+1-a_n=-ln（1+a_n）＜0，
所以a_n+1＜a_n成立．
所以0＜a_n+1＜a_n＜1
（3）因为b1=

1

2

，bn+1=

1

2

(n+1)bn，所以

bn+1

bn

=

n+1

2

，
所以bn=

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

…

b2

b1

=

1

2n

•n!…①
因为an+1＜

a 2 n

2

则

an+1

an

＜

an

2

，所以

an

a1

=

a2

a1

•

a3

a2

…

an

an-1

＜

a1

2

•

a2

2

…

an-1

2

因为a1=

2

2

，当n≥2时，0＜a_n+1＜a_n＜1，
所以an＜

a1

2

•

a2

2

…

an-1

2

•a1＜

a n 1

2n-1

≤

2 a 2 1

2n

=

1

2n

…②
由①②两式可知b_n＞a_n•n!

点评：本题考查的知识点是数列与不等式的综合，数列的函数特性，数列的递推公式，运算强度大，综合性强，属于难题．