Question

已知函数，f（x）=x³+bx²+cx+d在点（0，f（0））处的切线方程为2x-y-1=0．
（1）求实数c，d的值；
（2）若过点P（-1，-3）可作出曲线y=f（x）的三条不同的切线，求实数b的取值范围；
（3）若对任意x∈[1，2]，均存在t∈（1，2]，使得et-lnt-4≤f（x）-2x，试求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由点（0，f（0））在切线上得f（0）=-1，且f′（0）=2，联立可解得c，d；
（2）设切点为Q（x，y），易求切线方程，把点P（-1，-3），代入并整理得，由题意，方程有两个不同的非零实根，据此得到不等式组，解出可得b的范围；
（3）不等式et-lnt-4≤f（x）-2x，即et-lnt≤x³+bx²+3，由题意可知，et-lnt的最小值应小于或等于x³+bx²+3对任意x∈[1，2]恒成立，构造函数h（t）=et-lnt，用导数可求得h（t）_min，分离参数后再构造函数，转化为求函数最值即可；
解答：（1）f'（x）=3x²+2bx+c，由题意得，切点为（0，-1），
则，解得． 
（2）设切点为Q（x，y），则切线斜率为，，
所以切线方程为，即，
又切线过点P（-1，-3），代入并整理得，
由题意，方程有两个不同的非零实根，
所以，解得，
故实数b的取值范围为（-∞，0）∪（0，1）∪（9，+∞）．   
（3）由（1）知，f（x）=x³+bx²+2x-1，则不等式et-lnt-4≤f（x）-2x，即et-lnt≤x³+bx²+3，
由题意可知，et-lnt的最小值应小于或等于x³+bx²+3对任意x∈[1，2]恒成立，
令h（t）=et-lnt，则，令h'（t）=0，解得，列表如下：

t
h'（t）	-		+
h（t）	↘	极小值	↗

因此，h（t）的最小值为．                    
所以2≤x³+bx²+3对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，
令，则，令g'（x）=0，解得，列表如下：

x	1				2
g'（t）		+		-
g（t）	-2	↗	极大值	↘

因此，g（x）的最大值为，所以．
点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生综合运用知识解决问题的能力．