Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）令，已知函数有两个极值点，且，求实数的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若存在，使不等式对任意（取值范围内的值）恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）求出导数，计算，由点斜式写出切线方程并整理成一般式；

（2）求出，由，可得有两个满足题意的不等实根，由二次方程根的分布可得的范围；

（3）由（2）求出两极值点，确定的单调性，得在单调递增，因此题设中使不等式成立，取为最大值，使之成立即可。化简为不等式对任意的恒成立，引入函数，由导数研究此函数的单调性得不等式成立的条件．

解：当时，

时，

在处的切线方程为

化简得：

对函数求导可得，

令，可得

，解得的取值范围为

由，解得

而在上递增，在上递减，在上递增

在单调递增

在上，

，使不等式对恒成立

等价于不等式恒成立

即不等式对任意的恒成立

令，则

①当时，在上递减

不合题意

②当时，

若，即时，则在上先递减

时，不能恒成立

若即，则在上单调递增

恒成立

的取值范围为