Question

【题目】设函数，若曲线在点 处的切线方程为.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）求证：在曲线上任意一点处的切线与直线和所围成的三角形面积为定值，并求出此定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明

【解析】

（Ⅰ）求导函数，利用曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为，建立方程，可求得a＝1，b＝1，从而可得f（x）的解析式；

（Ⅱ）设为曲线f（x）上任一点，求出切线方程为，令x＝0，可得，切线方程与直线y＝x联立，求得交点横坐标为x＝2x0，计算曲线f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积，即可得到结论．

（Ⅰ）由题意的，解得，；

（Ⅱ）设为曲线上任一点，

由知，曲线在点处的切线方程为，

当得，令，得，

所以点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为

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