Question

如图，已知二面角α-l-β的平面角为45°，在半平面α内有一个半圆O，其直径AB在l上，M是这个半圆O上任一点（除A、B外），直线AM、BM与另一个半平面β所成的角分别为θ₁、θ₂．试证明cos²θ₁+cos²θ₂为定值．

Answer 1

分析：过M作MH⊥β，H为垂足，在α内，作MK⊥AB，K为垂足，连接KH，AH，BH，则∠MAH=θ₁，∠MBH=θ₂．说明∠MKH是二面角α-l-β的平面角．通过AM²=AK•AB，BM²=BK•AB，MK²=AK•BK，在Rt△MHA和Rt△MHB中，表示出sin²θ₁+sin²θ₂，即可求出所求表达式的值．

解答：证明：过M作MH⊥β，H为垂足，在α内，作MK⊥AB，K为垂足，连接KH，AH，BH，
则∠MAH=θ₁，∠MBH=θ₂．
∵MH⊥β，AB?β，
∴MH⊥AB．
∵MK∩MH=M，MK?平面MHK，MH?平面MHK，
∴AB⊥平面MHK．
∵HK?平面MHK，
∴AB⊥HK．
∴∠MKH是二面角α-l-β的平面角．
∴∠MKH=45°．
∴MH=

2

2

MK．
在Rt△AMB中，
AM²=AK•AB，BM²=BK•AB，MK²=AK•BK，
在Rt△MHA和Rt△MHB中，sinθ1=

MH

AM

，sinθ2=

MH

MB

．
∴sin²θ₁+sin²θ₂=

MH2

AM2

+

MH2

MB2

=

MK2

2AK•AB

+

MK2

2BK•AB

=

AK•BK

2AK•AB

+

AK•BK

2BK•AB

=

BK+AK

2AB

=

AB

2AB

=

1

2

．
∴cos²θ₁+cos²θ₂=2-（sin²θ₁+sin²θ₂）=2-

1

2

=

3

2

．（定值）．

点评：本题是中档题，考查二面角的有关知识，直角三角形中射影定理的应用，考查空间想象能力，计算能力．