Question

已知各项均为正数的数列满足, 且,其中.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设数列满足,是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由。
(3) 令,记数列的前项和为,其中,证明：。

Answer 1

（1）  （2）存在且， 

试题分析：
（1）利用十字相乘法分解，得到关于的递推式，证得数学为等比数列且可以知道公比，则把公比带入式子就可以求出首项，进而得到的通项公式.
（2）由第一问可得的通项公式带入可的通项公式，结合成等比数列，满足等比中项，得到关于m,n的等式，借助m,n都为正整数，利用等式两边的范围求出n,m的范围等到m,n的值.
（3）由（1）得，带入得到，由于要得到钱n项和，故考虑把进行分离得到 ，进而利用分组求和和裂项求和求的，观察的单调性，可得到与都关于n单调递减，进而得到关于n是单调递增的，则有，再根据的非负性，即可得到，进而证明原式.
试题解析：
(1) 因为,即  1分
又,所以有,即所以数列是公比为的等比数列. 2分
由得,解得。  3分
从而，数列的通项公式为。  4分
(2)=，若成等比数列，则，  5分
即．由，可得，  6分
所以，解得：。  7分
又，且，所以，此时．   
故当且仅当，.使得成等比数列。  8分
(3)
   10分
∴
   12分
易知递减，∴0＜  13分
∴，即  14分