Question

命题：“存在实数x，满足不等式（m+1）x²-mx+m-1≤0”是假命题，则实数m的取值范围是

m＞

2 3

3

．

Answer 1

分析：由题意知“任意x∈R，使（m+1）x²-mx+m-1＞0”是真命题，分两种情况：当m+1等于0时，得到函数有意义，符合题意；当m+1不等于0时，由x属于全体实数，根据二次函数的图象与性质可知抛物线的开口向上且与x轴没有交点时满足题意，所以令m+1大于0，及△小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可m的取值范围，综上，得到所有满足题意的实数m的取值范围．

解答：解：∵“存在实数x，满足不等式（m+1）x²-mx+m-1≤0”是假命题，
∴“任意x∈R，使（m+1）x²-mx+m-1＞0”是真命题，
①当m+1=0时，（m+1）x²-mx+m-1＞0，即x-2＞0，不是对任意x∈R恒成立；
②当m+1≠0时，?x∈R，任意x∈R，使（m+1）x²-mx+m-1＞0，
即m+1＞0且△=（-m）²-4（m+1）（m-1）＜0，
化简得：3m²＞4，解得m＞

2 3

3

或m＜-

2 3

3

，
∴m＞

2 3

3

综上，实数m的取值范围是m＞

2 3

3

．
故答案为：m＞

2 3

3

．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用、二次函数恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围．