Question

设函数f（x）=ax³+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+18y-7=0垂直，导函数f′（x）的最小值为12．
（1）求a，b，c的值；
（2）设g(x)=

f(x)

x2

，当x＞0时，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根据函数f（x）是奇函数可求出c的值，然后对函数f（x）进行求导根据导函数的最小值等于12可确定b的值，再由导数的几何意义可确定a的值．
（2）根据（1）确定函数f（x）的解析式，然后代入到函数g（x）中整理成g（x）=2(x+

6

x

)的形式，根据基本不等式可求出最小值．

解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c，∴c=0，
又∵f′（x）=3ax²+b的最小值为12，∴b=12；
又直线x+18y-7=0的斜率为-

1

18

，因此，f'（1）=3a+b=18，∴a=2，
∴a=2，b=12，c=0为所求．
（2）由（1）得f（x）=2x³+12x，∴当x＞0时，g(x)=

f(x)

x2

=2(x+

6

x

)≥2•2

x• 6 x

=4

6

，
∴g（x）的最小值为4

6

．

点评：本题主要考查导数的几何意义和利用基本不等式求函数的最值的问题．求函数的最值的方法一般有配方法、换元法、导数法、基本不等式法等，都要掌握．