Question

设定义在[x₁，x₂]上的函数y=f （x）的图象为C，C的端点为A，B，P （x，y）为C上任意一点，若

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），且x=λx₁+（1-λ）x₂；记

OM

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，现定义“当|

PM

|≤k（k为正的常数）恒成立时，称函数y=f （x）在[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似”．
（1）证明：0≤λ≤1；
（2）请给出一个标准k的范围，使得在[0，1]上的函数y=x²与y=x³中有且只有一个可在标准k下线性近似．

Answer 1

分析：（1）据区间的左端点小于等于右端点，列出x₁≤x≤x₂，将x的值代入解不等式，即可证得结论；
（2）对于y=x²与y=x³分别求出M，P两点的距离的最大值，利用题目中的定义求出k的范围即可．

解答：（1）证明：由题意，x₁≤x≤x₂，∴x₁≤λx₁+（1-λ）x₂≤x₂，∴x₁-x₂≤λ（x₁-x₂）≤0．
∵x₁-x₂＜0，∴0≤λ≤1；
（2）解：∵

OM

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，∴

OM

-

OB

=λ(

OA

-

OB

)，∴

BM

=λ

BA

∴B、M、A三点在一条直线上．
又由（1）的结论，M在线段AB上，且与点P的横坐标相同．
对于[0，1]上的函数y=x²，A（0，0），B（1，1），
则有P（x，x²），M（x，x），∴|

PM

|=x-x²∈[0，

1

4

]；
同理对于[0，1]上的函数y=x³，|

PM

|=x-x³，
令g（x）=x-x³，则g′（x）=1-3x²，
∵x∈（0，

3

3

）时，g′（x）＞0；x∈（

3

3

，1）时，g′（x）＜0
∴g（x）在（0，

3

3

）上单调递增；在（

3

3

，1）上单调递减
∴g（x）在x=

3

3

处取得最大值

2 3

9

，而g（0）=g（1）=0，∴|

PM

|∈[0，

2 3

9

]
∵

1

4

＜

2 3

9

∴k∈[

1

4

，

2 3

9

]时，函数y=x²与y=x³中有且只有一个可在标准k下线性近似．

点评：本题考查新定义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查向量知识的运用，属于中档题．