Question

已知中心在原点，其中一个焦点为F（-1，0）的椭圆经过点P(

2

，-

6

2

)，椭圆的右顶点为A，经过点F的直线l与椭圆交于两点B，C．
（1）求椭圆的方程；
（2）若△ABC的面积为

18

7

2

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）先设椭圆的标准方程，再根据题中条件列出关于a，b的方程组，通过解方程组即可求得a，b的值即可；
（2）先对直线l的斜率进行讨论，若直线l⊥x轴，则l的方程为：x=-1，不合；若直线l不与x轴垂直，
可设l的方程为：y=k（x+1）．将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式），最后求出三角形的面积，从而解决问题．

解答：解：（1）设椭圆的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)（1分）
由题设知

a2-b2=1 2 a2 + 3 2 b2 =1

，解得：

a=2 b= 3

（5分）
因此，椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1.（6分）

（2）若直线l⊥x轴，则l的方程为：x=-1，
此时B、C的坐标为(-1，

3

2

)、(-1，-

3

2

).
由于点A的坐标为（2，0），则△ABC的面积为

9

2

.不合题意，舍去：（7分）
若直线l不与x轴垂直，可设l的方程为：y=k（x+1）．
则直线与椭圆恒有两交点．
由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0（8分）
记B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），则有

x1+x2=- 8k2 3+4k2 x1x2= 4k2-12 3+4k2

，（9分）
由于|BC|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

12(1+k2)

3+4k2

点A到直线l的距离为

|3k|

1+k2

，（11分）
将上面两式代入△ABC的面积公式可得：

1

2

•

12(1+k2)

3+4k2

•

|3k|

1+k2

=

18

7

2

，（12分）
整理得：17k⁴+k²-18=0（13分）
解得：k2=-

18

7

（舍去），k²=1故k=±1，
从而，直线l的方程为：y=±（x+1）．（14分）

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、点到直线的距离、椭圆方程等基础知识，考查运算求解能力、方程思想．涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）．属于中档题．