Question

已知实数m为非零常数，且f（x）=loga(1+

m

x-1

)（a＞0且a≠1）为奇函数．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义加以证明；
（3）当x∈（b，a）时，函数f（x）的值域为（1，+∞），请确定实数a与b的取值．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=loga(1+

m

x-1

)（a＞0且a≠1）为奇函数，根据奇函数的定义可得f（-x）+f（x）=0，进而求出非零m的值；
（2）x₁，x₂是区间（1，+∞）上的任意两个值，且x₁＜x₂，可得1+

2(x2-x1)

(x1-1)•(x2+1)

＞1，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，结合复合函数的单调性，可证明函数的单调性；
（3）由函数解析式求出函数的定义域，结合（2）中函数的单调性，进而根据当x∈（b，a）时，函数f（x）的值域为（1，+∞），可得f（a）=1且

lim

x→b

(1+

2

x-1

)=+∞，解方程可求出a，b的值．

解答：解：（1）若函数f（x）=loga(1+

m

x-1

)（a＞0且a≠1）为奇函数
故f（-x）+f（x）=loga(1+

m

-x-1

)+loga(1+

m

x-1

)=loga[(1+

m

x-1

)(1+

m

-x-1

)]=loga[

-x2+(m-1)2

1-x2

]=0
即

-x2+(m-1)2

1-x2

=1，即（m-1）²=1
∵m≠0，
∴m=2
（2）由（1）得f（x）=loga(1+

2

x-1

)=loga(

x+1

x-1

)，
当0＜a＜1时，函数在区间（1，+∞）上为增函数
当a＞1时，函数在区间（1，+∞）上为减函数，理由如下：
令x₁，x₂是区间（1，+∞）上的任意两个值，且x₁＜x₂，
则x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂+1＞0，1+

2(x2-x1)

(x1-1)•(x2+1)

＞1
则f（x₁）-f（x₂）=loga(

x1+1

x1-1

)-loga(

x2+1

x2-1

)=loga(

x1+1

x1-1

•

x2-1

x2+1

)=loga[1+

2(x2-x1)

(x1-1)•(x2+1)

]
当0＜a＜1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），函数在区间（1，+∞）上为增函数
当a＞1时，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），函数在区间（1，+∞）上为减函数
（3）由（1）得f（x）=loga(

x+1

x-1

)的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
当0＜a＜1时，（b，a）?（-∞，-1）∪（1，+∞），此时函数的解析式无意义；
当a＞1，若函数的解析式有意义，则1≤b＜a，
由（2）可得，此时函数在（b，a）上为减函数
若函数f（x）的值域为（1，+∞）
则f（a）=1，
即loga(

a+1

a-1

)=1
即

a+1

a-1

=a
解得a=1+

2

且

lim

x→b

(1+

2

x-1

)=+∞
解得b=1
综上，a=1+

2

，b=1

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，函数的值域，熟练掌握函数奇偶性和函数单调性的定义是解答的关键．