Question

（2012•咸阳三模）已知函数f（x）=2x²，g（x）=alnx（a＞0）．
（1）若直线l交f（x）的图象C于A，B两点，与l平行的另一条直线l₁切图象于M，求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；
（3）求证：

ln24

24

+

ln34

34

+…+

lnn4

n4

＜

2

e

（其中e为无理数，约为2.71828）．

Answer 1

分析：（1）设切点M的，A，B点的横坐标分别为x₁，x₂，求出AB方程与函数f（x）联立，利用韦达定理．即可证得结论；
（2）构造函数令F（x）=f（x）-g（x）=2x²-alnx，确定函数的最小值，不等式f（x）≥g（x）恒成立，等价于最小值大于等于0，由此可得的取值范围；
（3）由（2）得2x²≥4elnx，即

4lnx

x4

≤

2

ex2

，由此进行放缩，即可证得结论．

解答：（1）证明：设切点M的横坐标为x₀，A，B点的横坐标分别为x₁，x₂，
因为f′（x）=4x，所以kl=kl1=4x0；
令AB方程为y=4x₀x+b，则由

y=2x2 y=4x0x+b

消去y得2x²-4x₀x-b=0，
当△=16

x

2 0

+8b＞0时，x₁+x₂=2x₀，所以A，M，B三点的横坐标成等差数列．…（4分）
（2）解：令F（x）=f（x）-g（x）=2x²-alnx，F′(x)=4x-

a

x

，
令F'（x）=0，得x=

a

2

，所以f（x）的减区间为(0，

2

2

)，增区间为(

a

2

，+∞)，
∴F（x）_极小值=F(x)min=

a

2

-aln

a

2

，
不等式f（x）≥g（x）恒成立，等价于

a

2

-aln

a

2

≥0，
∴a≤4e且a＞0，即a∈（0，4e]．…（10分）
（3）证明：由（2）得2x²≥4elnx，即

4lnx

x4

≤

2

ex2

，所以

ln24

24

+

ln34

34

+…+

lnn4

n4

≤

2

e

(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)＜

2

e

(

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

)＜

2

e

…
即

ln24

24

+

ln34

34

+…+

lnn4

n4

＜

2

e

（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查不等式的证明，解题的关键是正确求导，确定函数的最值．