Question

（2012•佛山一模）设a∈R，函数f（x）=lnx-ax．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在P（1，-2）处的切线方程；
（2）若f（x）无零点，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）有两个相异零点x₁，x₂，求证：x₁•x₂＞e²．

Answer 1

分析：（1）先确定函数f（x）的定义域，然后对函数f（x）求导，根据导函数求出f′（1）=-1，得到切线方程．
（2）当a≤0时，函数有零点；当a＞0时，极大值小于0，函数没有零点，由此可求实数a的取值范围．
（3）由于f（x）有两个相异零点x₁，x₂，可知f（x₁）=0，f（x₂）=0，再原不等式x₁•x₂＞e²进一步整理得到ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

，只要能证出上述不等式恒成立即可．

解答：解：在区间（0，+∞）上，f′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

．…（1分）
（1）当a=2时，f^′（1）=1-2=-1，则切线方程为y-（-2）=-（x-1），即x+y+1=0 …（3分）
（2）①若a＜0，则f^′（x）＞0，f（x）是区间（0，+∞）上的增函数，
∵f（1）=-a＞0，f（e^a）=a-ae^a=a（1-e^a）＜0，
∴f（1）•f（e^a）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）有唯一零点．…（6分）
②若a=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1．…（7分）
③若a＞0，令f^′（x）=0得：x=

1

a

．
在区间（0，

1

a

）上，f^′（x）＞0，函数f（x）是增函数；
在区间（

1

a

，+∞）上，f^′（x）＜0，函数f（x）是减函数；
故在区间（0，+∞）上，f（x）的极大值为f（

1

a

）=ln

1

a

-1=-lna-1．
由于f（x）无零点，须使f(

1

a

)=-lna-1＜0，解得：a＞

1

e

．
故所求实数a的取值范围是（

1

e

，+∞）．…（9分）
（3）设x₁＞x₂＞0，∵f（x₁）=0，f（x₂）=0，∴lnx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂）
原不等式x₁•x₂＞e²等价于lnx₁+lnx₂＞2?a（x₁+x₂）＞2?

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

?ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

令

x1

x2

=t，则t＞1，于是ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

?lnt＞

2(t-1)

t+1

．…（12分）
设函数g(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

，(t＞1)，
求导得：g′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
故函数g（t）是（1，+∞）上的增函数，∴g（t）＞g（1）=0
即不等式lnt＞

2(t-1)

t+1

成立，故所证不等式x₁•x₂＞e²成立．…（14分）

点评：本题主要考查了导数在函数单调性和函数极值中的应用，连续函数的零点存在性定理及其应用，分类讨论的思想方法，属中档题