Question

下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．

（1）若为的中点，求证：面；

（2）证明面.

（3）求该几何体的体积．

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

试题分析：由三视图可知底面是边长为4的正方形，，，∥，且。（1）根据等腰三角形中线即为高线可证得，根据，且为正方形可证得，即可证得，根据线面垂直的判定定理可得。（2）取的中点, 与的交点为，可证得四边形平行四边形，即可证得∥，根据线面平行的定义即可证得面。（3）用分割法求体积，即将此几何体分割成以为顶点的一个四棱锥和一个三棱锥。

试题解析：【解析】
（1）由几何体的三视图可知，底面是边长为4的正方形,

而且,∥，，．

取的中点，如图所示.

∵,∴，

又∵，∴面,

∴．又,

∴面． 5分

（2）如图

取的中点, 与的交点为，

连结、，如图所示.

∴，∥，∴，∥，

∴四边形为平行四边形，

∴∥，又面, ∴∥面，

∴面． 9分

（3）. 13分

考点：1三视图；2线面平行；3线面垂直；4棱锥的体积。